Měření hmotnosti

Hmotnost hvězd a planet nejsme schopni změřit přímo, ale můžeme ji vypočítat z jiných veličin, které naměřit nebo pozorovat lze. Hmotnost lze vypočítat u hvězd, které mají ve své blízkosti jiné hmotné těleso — jedná se tedy například o složky dvojhvězdy nebo jiné vícenásobné hvězdy, případně můžeme k výpočtu využít obíhající planety.

Hmotnost vypočteme uvážením toho, že gravitační síla je silou dostředivou:

\(F_{\rm g} = F_{\rm d}.\)

Po dosazení

\(G \frac{m_1 m_2}{r^2} = \frac{m_2 v^2}{r},\)

kde \(m_1\) je hmotnost hmotnější složky, kolem které obíhá méně hmotná složka o hmotnosti \(m_2\). Hmotnost \(m_2\) můžeme nyní zkrátit a po upravě platí:

\(G \frac{m_1}{r}=v^2,\)

kde \(v\) je tzv. kruhová rychlost, tedy rychlost, jakou obíhá po stabilní kruhové trajektorii jedna složka hvězdy kolem svého společníka ve vzdálenosti \(r\). Chceme zjistit hmotnost \(m_1\), takže ji vyjádříme:

\(m_1=\frac{v^2r}{G}.\)

Hmotnosti hvězd se pohybují v rozmezí 0,02 — 50 \(M_{\odot}\), kde \(M_{\odot}\) je hmotnost Slunce.

Příklad: Země obíhá kolem Slunce ve vzdálenosti jedné astronomické jednotky a jeden oběh trvá 365,25 dne. Jaká je hmotnost Slunce?

Rovnost gravitační a dostředivé síly zapíšeme jako

\(G \frac{M_{\odot} M_Z}{r^2} = \frac{M_Z v^2}{r},\)

\(G \frac{M_{\odot} }{r} = \left( \frac{2 \pi r}{T}\right)^2,\)

kde jsme na pravé straně rozepsali rychlost jako kruhovou dráhu za jednu dobu oběhu (jeden rok). Po umocnění

\(G \frac{M_{\odot} }{r} = \frac{4 \pi^2 r^2}{T^2},\)

odkud lze hmotnost Slunce vyjádřit jako

\( M_{\odot} = \frac{4 \pi^2 r^3}{T^2}G \approx 2 \cdot 10^{30}\;{\rm kg}.\)

Rovnici lze ovšem upravit na důležitý tvar

\(\frac{ r^3}{T^2} = \frac{G M_{\odot}}{4 \pi^2},\)

což je třetí Keplerův zákon. Pravá strana je pro sluneční soustavu konstantní, protože závisí pouze na hmotnost Slunce a pro každá dvě tělesa s oběžnými dobami \(T_1\) a \(T_2\), které obíhají po hruhových drahách ve vzdálenostech \(r_1\) a \(r_2\) bude platit

\(\frac{ r^3_1}{T^2_1} =\frac{ r^3_2}{T^2_2}.\)

Úloha: Vypočítejte hmotnost Země \(M_Z\), jestliže víte, že kolem ní ve střední vzdálenosti 384 000 km obíhá Měsíc, přičemž jeho doba oběhu je 27,4 dne.